Chuyên đề Bất đẳng thức, cực trị đại số lớp 9 - Trường THCS Phạm Ngũ Lão

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Bất đẳng thức, cực trị đại số lớp 9 - Trường THCS Phạm Ngũ Lão

1. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ A. ĐẶT VẤN ĐỀ Bất đẳng thức và cực trị đại số là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông . Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán ,đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Thông qua đó rèn luyện tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh. Để làm được điều đó giáo viên phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức . B. NỘI DUNG PHẦN I. BẤT ĐẲNG THỨC I . Định nghĩa: Cho hai số a và b .ta nói: a lớn hơn b ,kí hiệu a > b, nếu a – b > 0. a nhỏ hơn b ,kí hiệu a < b , nếu a – b < 0. II. Các tính chất : 1. a a. 2. Tính chất bắt cầu: aa > b; b > c a > c. 3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: aa > b a + c > b + cc 4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều: aa > b ; c > d a + c > b + d . (Chú ý không được trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều). 5. Trừ hai bất đẳng thức ngược chiều: aa > b ; c b – dd 6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương: aa > b ; c > 0 a.c > b.cc b) Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức : aa > b, c < 0 a.c < b.cc 7. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm : aa > b > 0 ; c > d >0 a.c > b.dd 8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức : a > b > 0 an > bn a > b an > bn với n lẻ. a > b an > bn với n chẵn. 1
2. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương : Nếu m > n > 0 thì : a > 1 am > an ; a = 1 am = an ; 0 < a <1 am < an 10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu : 1 1 aa > b ,ab > 0 < a b Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt ,chẳng hạn a > b,ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt , chẳng hạn a b ( tức là a > b hoặc a = b). Trong các tính chất trên, nhiều dấu > (hoặc <) có thể thay bởi (hoặc ). III. Một số bất đẳng thức quan trọng. 1. Ngoài các hằng bất đẳng thức a 2 0 ; - a2 0, ta cần nhớ các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối: + a 0 .Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. + - a a a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. + a b a + b a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0. + a b a b a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0 và a b . 1 + a +  2. (a 0, dấu “ = “ xảy ra khi a = 1) a 2. Một số hằng bất đẳng thức đắng nhớ: * a2 + b2 2ab. 1 1 4 * + với ab > 0 a b a + b a b * + 2 với ab > 0 b a a b 3. Bất đẳng thức côsi : ab (a, b 0, dấu “=” xảy ra khi a = b 0) 2 a1 + a2 + + an n Dạng tổng quát: a1.a2.a3 an , với a1, a2,....,an ≥ 0 n 4. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki – Côsi: a x (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2). (dấu “=” xảy ra khi = ; a,b,x,y R) b y Dạng tổng quát: 2 2 2 2 2 2 2 (a1.b1 + a2.b2 + + an.bn) (a1 + a2 + + an ).(b1 + b2 + + bn ) 2
3. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 5. Bất đẳng thức Becnuli: (1 )n 1 n . (,dấu “=”0, xảyn raN khi n = 0 ; n = 1hoặc .) 0 6. Bất đẳng thức các trung bình nhân , cộng, toàn phương: 2 2 2 2 n a1 + a2 + + an a1 + a2 + a3 + an a1.a2.a3 an n n (a1;a2; ;an 0, dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = = an 0) IV Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: PHƯƠNG PHÁP 1. DÙNG ĐỊNH NGHĨA: 1.1 Phương pháp: - Để chứng minh A < B,ta xét hiệu A – B và chứng minh trằng A – B < 0. - Ta dùng hằng đẳng thức,để phân tích đa thức hiệu thành nhân tử ,thành luỹ thừa chẳn của một đa thức * Lưu ý: A2≥ 0 với mọi A; dấu “=” xảy ra khi A = 0. 1.2 Các ví dụ: Ví dụ 1.1: (Lớp 8) Chứng minh rằng (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) -1 Giải: Ta có: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) – (-1) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 1 = (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6) + 1 (*) Đặt x2 – 5x+5 = y (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6)+1 = (y – 1)(y + 1) +1= y2 0 Suy ra (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) – (-1) 0 Vậy (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) -1 Ví dụ 1.2:(Lớp 8) Chứng minh rằng a4 + b4 ab3 + a3b  a,b. Giải: Ta có:a4 + b4 – (ab3 + a3b) = (a4 – ab3) + (b4 – a3b) = a(a3 – b3) + b(b3 – a3) = (a – b)(a3 – b3) = (a – b)2(a2 + ab + b2) b b b = (a – b)2[a2 + 2.a. +( )2 - ( )2 + b2] 2 2 2 b 3b2 = (a – b)2[a + )2 + ] 0 2 4 Suy ra a4 + b4 – (ab3 + a3b) 0 a4 + b4 ab3 + a3b  a,b Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a – b = 0 a = b. 3
4. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Vậy a4 + b4 ab3 + a3b (đccm) 1.3 Các bài tập Bµi 1.1 : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Bµi 1.2 : Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc . Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) 2 a 2 b 2 a b Bµi 1.3 : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : 2 2 PHƯƠNG PHÁP 2. DÙNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: 2.1 Phương pháp: Ta dùng hằng đẳng thức đắng nhớ,qui đồng mẫu thức,rút gọn phân thức,dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki,bất đẳng thức côsi BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®­îc chøng minh lµ ®óng . 2.2 Các ví dụ: Ví dụ 2.1: Chứng minh rằng  x;y;z R ,ta có x2 + y2 + z2 xy + y z + zx. Giải. Ta có: x2 + y2 + z2 xy + y z + zx 2.(x2 + y2 + z2) 2(xy + y z + zx) 2x2 + 2y2 + 2z2 2xy + 2y z + 2zx 2x2 + 2y2 + 2z2 – (2xy + 2y z + 2zx) 0 (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2xz + z2) + (y2 – 2yz + z2) 0 (x–y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 0 .Đúng với  x;y;z R. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Vậy x2 + y2 + z2 xy + y z + zx với  x;y;z R. (đccm) a + b Ví dụ 2.2: Chứng minh rằng với a 0 ; b 0 ta có BĐT ab. 2 Giải: a + b a + b Với a 0 ; b 0 ta có ab ( )2 ( ab)2 (a + b)2 4ab 2 2 a2 + 2ab + b2 – 4ab 0 a2 – 2ab + b2 0 (a – b)2 0.luôn đúng với  a;b 0. a + b Vậy abvới a 0 ; b 0 . 2 * Chú ý : + Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức côsi. 4
5. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ a + b + gọi là trung bình cộng. 2 + ab gọi là trung bình nhân. Ví dụ 2.3: Chứng minh rằng (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) ,  a;b;x;y . Giải: Ta có:(ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) a2x2+2abxy +b2y2 a2x2+b2x2+a2y+ b2y2 a 2y2 – 2abxy + b2x2 0 (ay – bx)2 0 .Luôn đúng với  a;b;x;y a x Dấu “=” xảy ra khi ay = bx = b y Vậy ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) ,  a;b;x;y (Bất đẳng thức Bunhiakôpxki). Ví dụ 2.4: Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện a + b = 1 .Chứng minh rằng : 1 1 (1 + )(1 + ) 9 a b Giải: 1 1 Cách1: Ta có : (1 + )(1 + ) 9 (1) a b a + 1 b + 1 . 9 a b ab + a + b + 1 9ab (vì ab > 0) a + b +1 8ab 2 8ab ( vì a + b =1) 1 4ab (a + b)2 4ab ( vì a + b =1) (a – b)2 0. (2) Do bất đẳng thức (2) luôn đúng ,mà các phép biến đổi trên tương đương ,vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. 1 1 a + b a + b b a Cách 2: Ta có: (1 + )(1 + ) = (1 + )(1 + ) = (2 + )(2 + ). a b a b a b a b a b = 4 + 2. + 2. + 1 = 5 + 2.( + ) b a b a a b Mặc khác theo bất đẳng thức côsi ta có : ( + ) 2 (Vì a > 0;b>0) b a 5
6. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ a b a b 2.( + ) 4 5 + 2.( + ) 4+5 b a b a a b 5 + 2.( + ) 9 b a Vậy ta có điều cần chứng minh. 2.3 Các bài tập: 1 1 4 Bài 1 : Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : a 1 b 1 3 Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn : a + b + c = 4 . Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 3 a 3 b3 a b Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : ; trong đó a > 0 ; b > 0 2 2 1 Bài 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 2 a b Bài 5 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b b a PHƯƠNG PHÁP 3. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC. 3.1 Một BĐT rất quen thuộc đối với HS cấp 2, đó là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức Côsi). 3.1.1. Nội dung của bất đẳng thức này như sau: a b ab (a, b 0, dấu “=” xảy ra khi a = b 0) 2 a a a ... a Dạng tổng quát: Với n số không âm a ,a ,a ,...,a ta có: 1 2 3 n n a a a ...a 1 2 3 n n 1 2 3 n Dấu “=” xảy ra a1 a2 a3 ... an . 3.1.2. Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức Côsi như sau: a b 2 HQ1: a2 b2 2ab a2 b2 2ab 2 Dấu “=” xảy ra a = b. a b c 2 HQ2: a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca 3 Dấu “=” xảy ra a = b = c. a b HQ 3. 2 (ab > 0). Dấu “=” xảy ra a = b. b a 1 hay a 2 (a > 0). Dấu “=” xảy ra a = 1. a 6
7. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 1 1 1 1 n2 HQ 4.  a1 a2 a3 an a1 a2 a3 ... an 1 1 1 1 2 hay a1 a2 a3 ... an  n a1,a2 ,a3 ,...,an 0 a1 a2 a3 an Dấu “=” xảy ra a1 a2 a3 ... an . 3.1.3. Vận dụng để chứng minh bất đẳng thức BÀI 1. Hãy chứng minh các hệ quả nêu trên của bất đẳng thức AM-GM. BÀI 2. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b, c 1 1 1 1 1 1 (*) a b c ab bc ca Giải: Áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c ab bc ca 1 1 1 Dấu “=” xảy ra a b c a b c Nhận xét: Chúng ta có thể mở rộng bất đẳng thức (*) bằng cách nhân cả hai vế của bất đẳng 1 1 1 thức (*) với abc 0 , ta có bất đẳng thức mới: abc a b c . Và nếu giả thiết cho a b c thêm dữ kiện a b c 1 thì chúng ta có một bất đẳng thức khá “đẹp” như 1 1 1 1 sau: . Cứ tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ tìm tòi được nhiều bài toán mới, hay hơn, tổng a b c abc quát hơn Đây chính là cách suy nghĩ trên những bài toán giúp ta nắm vững kiến thức, cũng như một cách rèn luyện tư duy, từ đó hình thành một thói quen học toán tốt. a b c 3 BÀI 3. Chứng minh rằng a,b,c 0 ta có bất đẳng thức sau: (**) b c c a a b 2 Giải: a b c a b c b c a c a b Ta có: 3 b c c a a b b c c a a b 1 1 1 a b c 3 b c c a a b 1 1 1 1 b c c a a b 3 2 b c c a a b a b c 1 3 Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM ta có: 9 3 b c c a a b 2 2 Dấu “=” xảy ra b c c a a b a b c Chú ý: Bất đẳng thức (**) chính là bất đẳng thức Nesbitt (Ne-xbít) cho 3 số dương. Ngoài ra, còn rất nhiều cách khác để chứng minh bất đẳng thức này. (PP đặt ẩn phụ) 7
8. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 2 y 4 BÀI 4. Chứng minh rằng x, y 0, 1 2x 1 1 81 2x y BÀI 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 a. a b c b c a c a b a b c b. a b c b c a c a b abc HD a. Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM: b. Áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM: a b c Chú ý: Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác thì p , khi đó ta có thể viết lại hai bất đẳng thức 2 1 1 1 1 1 1 trên như sau: 2 p a p b p c a b c 1 p a p b p c abc 8 BÀI 6. Chứng minh a2 8 a. 4 a a2 4 b. b c c a a b 8abc a,b,c 0 2 c. 1 a 1 b 1 ab a,b 0 Chú ý: + Chúng ta hãy cùng quan sát lại một lần nữa bất đẳng thức ở phần b. Với điều kiện a,b,c 0 , khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho abc 0 ta có: a b b c c a 8 abc Thêm vài bước biến đổi nho nhỏ ta được: a b b c c a b c a   8 1 1 1 8 a b c a b c Vậy là ta đã thu được một bất đẳng thức mới, cách chứng minh bất đẳng thức này cũng hoàn toàn tương tự như bất đẳng thức ban đầu. + Cũng vẫn là bất đẳng thức ở phần b. nhưng nếu cho thêm giả thiết a b c 1 thì ta có bất đẳng thức: 1 a 1 b 1 c 8abc . Sẽ khó khăn hơn khi nhận ra phải sử dụng bất đẳng thức AM- GM để chứng minh bất đẳng thức này. + Bất đẳng thức ở phần c. có thể mở rộng cho 3 số 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca abc 3 1 33 abc 33 abc 2 abc 1 3 abc 2 2 2 Với bốn số: 1 a 1 b 1 c 1 d 1 ab 1 cd 1 ab cd abcd 8
9. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 2 2 2 4 1 2 4 abcd abcd 1 4 abcd 1 4 abcd 1 1 1 1 BÀI 7. Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn điều kiện 3. 1 a 1 b 1 c 1 d 1 Chứng minh abcd 81 Giải: Ta nhận ra 3 = 1 + 1 + 1 nên ta sẽ biến đổi điều kiện của đề bài như sau: 1 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 1 d 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b c d b c d 33   1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d 1 a c d a c d Tương tự, ta cũng có: 33   1 b 1 a 1 c 1 d 1 a 1 c 1 d 1 a b d a b d 33   1 c 1 a 1 b 1 d 1 a 1 b 1 d 1 a b c a b c 33   1 d 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức trên, ta có đccm. Dấu “=” xảy ra a b c d 3 Nhận xét: Bằng việc linh hoạt trong phép biến đổi, cộng thêm sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta đã có một lời giải “nhanh, gọn, đẹp”. BÀI 8: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 d 2 a b c b c d d c a 10 a b c BÀI 9 : Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng: 2 b c c a a b 1 1 1 a b c BÀI 10: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: a 2 bc b 2 ac c 2 ab 2abc 3.2 Một BĐT cũng khá quen thuộc và được dùng để chứng minh nhiều BĐT khác một cách dễ dàng,đó là: a2 b2 (a b)2 a b với a, b tùy ý; và x, y >0. Dấu đẳng thức xẩy ra khi x y x y x y 9
10. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ a 2 b2 c 2 a b c 2 a b c Mở rộng: ,a,b,c R;x, y, z R . Dấu “=” xảy ra x y z x y z x y z * Tổng quát: Bất đẳng thức Schwartz (Svácxơ) Với a 1,a2,......an R; x 1,x2,......xn R; n N , 2 2 2 a1 an (a1 ... an ) ta có: , ... x1 xn x1 ... xn (a b)4 BÀI 1: Cho a, b R. Chứng minh rằng: a4 b4 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 (a ) (b ) (a b ) a b (a b) Ta có: a b 1 1 2 2 2 2 2 (a b)4 Vậy a4 b4 (đpcm) 8 Chú ý: Có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp các em học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải. 1 1 1 BÀI 2: Cho x, y, z R+ và thỏa mãn: 4 . Chứng minh rằng: x y z 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z HƯỚNG DẪN: 1 1 1.(1 1 1 1)2 Cách 1: Ta có 2x y z x x y z 16(x x y z) 1 1 1 1 Cách 2: Ý tưởng . Ta có: a b 4 a b 1 1 2 1 1 1 2 Cách 3: Ý tưởng (x y)( ) 4 2 và x y z 9 3 ; x y x y z 1 1 Cách 4: . Từ đó có ý tưởng: x x y z 44 x2yz (cauchy) 2x y z x x y z a b c 3 BÀI 3: Cho a,b,c R . Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Giải a2 b2 c2 (a b c)2 VT = ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ca) 10
11. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 1 1 1 (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b c)2 3 Do đó ta cần chứng minh 2 2 2 0 2(ab bc ac) 2 2(ab bc ca) (luôn đúng a,b,c R ) 1 1 1 3 BÀI 4: Cho a,b,c R và abc = 1. Chứng minh rằng: a3(b c) b3(c a) c3(a b) 2 HD: Nhân vế trái với a2b2c2 PHƯƠNG PHÁP 4. DÙNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC: Ta dùng các tính chất trên một cách linh hoạt để chứng minh các bất đẳng thức 4.1. Các ví dụ 1 Ví dụ 4.1 : Cho a + b > 1.Chứng minh rằng a4 + b4 > 8 Giải: Ta có: a + b > 1 > 0 (1) (a + b)2 > 1 a2 + 2ab +b2 > 1 (2) Mặt khác (a – b)2 0 a2 – 2ab + b2 0 (3) 1 Cộng từng vế của (2) và (3) ,ta có: 2(a2 + b2) > 1 a2 + b2 > (4) 2 1 Bình phương hai vế của (4) ta có: a4 + 2a2b2 + b2 > (5) 4 Mặt khác (a2 – b2)2 0 a4 – 2a2b2 + b4 0 (6) 1 1 Cộng từng vế của (5) và (6) ta có: 2(a4 + b4) > a4 + b4 > . 4 8 1 Vậy a4 + b4 > với a + b > 1. 8 Ví dụ 4.2 : Cho x 0,y 0 ,z 0.Chứng minh rằng (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. (1) Giải: Hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1),ta sẽ chứng minh rằng (x + y)2(y + z)2(z + x)2 64x2y2z2. Ta có : (x + y)2 4xy (y + z)2 4yz 11
12. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ (x + z)2 4xz Vì hai vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân từng vế ta có: (x + y)2(y + z)2(z + x)2 64x2y2z2 [(x + y)(y + z)(z + x)] (8xyz)2 Vì các biểu thức trong ngoặc móc đều không âm nên (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. Xảy ra dấu đằng thức khi và chỉ khi x = y = z. 4.2 Các bài tập Bài 4.1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . Chứng minh rằng : x4 + y4 2 Bài 4.2: Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài 4.3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a PHƯƠNG PHÁP 5. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ: Phương pháp này chỉ áp dụng được khi vai trò các số là như nhau trong biểu thức hoặc bất đẳng thức. 5.1 Các ví dụ: Ví dụ 5.1: Cho a;b;c;d > 0 và biểu thức M như sau: a b c d M = + + + . a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b Chứng minh rằng 1 < M < 2. Giải: Do vai trò của a;b;c;d là như nhau nên giả sử a < b < c < d a a a Ta có: < < a + b + c + d a + b + c a + c b b b < < a + b + c + d b + c + d b + d c c c < < a + b + c + d c + d + a c + a d d d < < a + b + c + d d + a + b d + b 12
13. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Cộng vế theo vế ta có: 1 < M < 2 . (đccm) ab bc ca a + b + c Ví dụ 5.2: Cho a;b;c > 0 .Chứng minh rằng + + a + b b + c c + a 2 Giải: a + b a + b (a + b)2 2 Ap dụng bất đẳng thức côsi,ta có: ab ( ) ab ab 2 2 4 a + b ab (1) 4 a + b b + c bc c + a ca Tương tự ta có: (2) ; (3) 4 b + c 4 c + a Cộng vế theo vế của (1) ; (2) và (3) ta có: a + b b + c c + a ab bc ca + + + + 4 4 4 a + b b + c c + a a + b + b + c + c + a ab bc ca + + 4 a + b b + c c + a a + b + c ab bc ca + + . 2 a + b b + c c + a Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c. ab bc ca a + b + c Vậy + + a + b b + c c + a 2 PHƯƠNG PHÁP 6. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC VỀ 3 CẠNH CỦA TAM GIÁC 6.1 Phương pháp: Với a , b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác , ta có a < b+c (1) b < a+c (2) c < a+b (3) Từ 3 BĐT về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra được 3 BĐT về hiệu hai cạnh : a < b + c (1) a b c (4) b < a+c (2) b c a (5) c < a+b (3) c a b (6) 6.2 Các ví dụ: 13
14. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Bài 6.1: Cho ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng : 2 ( ) p a p b p c a b c Giải: b c a Ta có : p - a = 0 2 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 1 1 4 4 Áp dụng kết quả bài tập (3.5) , ta được ; p a p b ( p a) ( p b) c 1 1 4 Tương tự : p b p c a 1 1 4 p a p c b 1 1 1 1 1 1 Suy ra 2( ) 4( ) => điều phải chứng minh . p a p c p c a b c Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c . Khi đó ABC là tam giác đều . Bài 6.2: Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a )(c + a – b ) abc Giải: Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết b c a 0 a2 (b c)2 a2 c a b 0 b2 (c a)2 b2 ` a b c 0 c2 (a b)2 c2 Từ đó a2 (b c)2 b2 (c a)2 c2 (a b)2 a2b2c2 (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b) a2b2c2 (a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2 a2b2c2 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên a + b – c > 0; b + c – a > 0; c + a – b > 0 và abc>0 Vậy bất đẳng thức đó được chứng minh PHƯƠNG PHÁP 7. CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG. 14
15. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ 7.1 Phương pháp: - Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . - Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng . 7.2 Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . 7.3 C¸c vÝ dô : a b c 0 (1) Ví dụ 7.1: Cho các số a;b;c thoả điều kiện ab bc ca 0 (2) abc 0 (3) Chứng minh rằng a > 0; b > 0;c > 0. Giải: Giả sử a 0 . Do (1) b + c > -a 0 và Do (2) bc > -a(b + c) 0 Suy ra abc 0 .Mâu thuẫn với (3).Do đó a > 0. Do vai trò của a;b;c là như nhau nên ta có điều cần chứng minh. 2 2 Ví dụ 7.2 : Cho a + b 2. Chứng minh rằng a + b 2. Giải: 2 Cách 1: Giả sử a + b > 2 (a + b) > 4 (1) 2 2 2 2 2 2 Mặt khác ta có : 2ab a + b a + b + 2ab 2(a + b ) 2 2 2 2 2 2 Mà a + b 2(giả thuyết) 2(a + b ) 4,do đó a + 2ab + b 4 (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1).Vậy a + b 2 (đccm) 2 2 Cách 2: Ta có: a + b 2 (1) 2 2 2 2 Mặt khác 2ab a + b nên 2ab a + b < 2 (2) Cộng (1) và (2) ,ta có: a2 + 2ab + b2 4 (a + b)2 4 - 2 a + b 2 Vậy ta có điều cần chứng minh. 15
16. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ * Chú ý: Để thực tốt một bài toán chứng minh bất đẳng thức ta thường vận dụng phối hợp tất cả các phương pháp trên một cách linh hoạt. 7.4 Các bài tập Bài 7. 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai : 2a(1 - b) > 1; 3b(1 - c) > 2; 8c(1 - d) > 1; 32d(1 - a) > 3 Bài 7.2: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : 1 1 1 a 2 ; b 2 ; c 2 b c a Hướng dẫn: Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau Bài 7.3 : Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau : 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 . Bài 7.4: Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng : a + b 2 . Hướng dẫn: Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng PHƯƠNG PHÁP 8. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 8.1 Phương pháp : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... 8.2 Các ví dụ : a b c 3 Ví dụ 8.1 : Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì b c c a b a 2 Giải: Cách 1. Đặt b +c = x , c + a = y , a + b = z x y z => a + b + c = 2 y z x z x y x y z => a = , b = , c = 2 2 2 a b c y z x z x y x y z Khi đó : VT = = b c c a b a 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 a b c b c a c a b Cách 2. Đặt A = ;B = + + ;C = + + b c c a b a b c c a a b b c c a a b A B 3 3 Khi đó B + C = 3 và 2A + B + C ≥ 6. Suy ra A ≥ (đpcm) A C 3 2 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 16
17. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Ví dụ 8.2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : 1 (x 2 y 2 )(1x 2 y 2 ) 1 - 4 (1 x 2 ) 2 (1 y 2 ) 2 4 Giải: x 2 y 2 1 x 2 y 2 (x 2 y 2 )(1 x 2 y 2 ) Đặt : a = và b = . Suy ra ab = (1 x 2 )(1 y 2 ) (1 x 2 )(1 y 2 ) (1 x 2 ) 2 (1 y 2 ) 2 1 1 Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : - (a b) 2 ab (a b) 2 4 4 2 2 2 2 Mà : (a - b)2 = 1 ; (a + b)2 = 1 2 2 x 1 y 1 1 1 Suy ra : - ab . 4 4 Ví dụ 8.3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 9 a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 1 1 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 .Chứng minh rằng : 9 x y z 1 1 1 Ta chứng minh được : (x + y + z)( ) 9 (theo bất đẳng thức Côsi ) x y z 1 1 1 Mà : x + y + z 1 nên suy ra 9 . x y z PHƯƠNG PHÁP 9. DÙNG PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC . 9.1 Phương pháp : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) 9.2 Các Ví dụ : 17
18. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Bài 9.1 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì 2n > 2n + 1 (*) Giải : + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 . + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2k > 2k + 1, Ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) Vậy (**) đúng với mọi k 3 . + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3 . 1 3 5 2n 1 1 Bài 9.2 : Chứng minh rằng : . . ... (*) (n là số nguyên dương ) 2 4 6 2n 3n 1 Giải : 1 + Với n = 1 , ta có : VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 . 2 1 3 5 2k 1 1 + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : . . ... 2 4 6 2k 3k 1 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 1 3 5 2k 1 2k 1 1 2k 1 . . ... . . 2 4 6 2k 2(k 1) 3k 1 2(k 1) 1 2k 1 1 do đó chỉ cần chứng minh : 3k 1 2(k 1) 3(k 1) 1 dùng phép biến đổi tương đương , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 12k 3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4 k 0 . => (**) đúng với mọi k 1 . Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dương n . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phương pháp đó. 18
19. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ PHẦN II. CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Bất đẳng thức là một công cụ để giải nhiều dạng toán khác nhau, đặc biệt là các bài toán về cực trị, các bài toán về giải phương trình và hệ phương trình. I. VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Ở đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số PHƯƠNG PHÁP 01 : SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Cho biểu thức f(x,y,..) có miền xác định là D Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số . Từ đó : f (x, y...) M 1.Để tìm Max f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra : sao cho f(x0,y0,...) = M (x0 , y0 ....) | R f (x, y...) m 2. Để tìm Min f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra : sao cho f(x0,y0,...) = m (x0 , y0 ....) | R 1.1 Các vi dụ minh hoạ : 2 Ví dụ 1.1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x + 4x + 7 Giải : 2 2 2 2 Ta có : A1 = x + 4x + 7 = x + 4x + 4x + 3 = (x + 2) + 3 3 vì (x + 2) 0. A1 min = 3 x + 2 = 0 x = -2 Vậy A1 min = 3 x = -2 2 Ví dụ 1.2 : Tìm giá trị lớn nhất của A2 = -x + 6x - 15 Giải : 2 2 Ta có : A2 = -x + 6x - 15 = - (x - 6x + 9) - 6 2 2 A2 = - (x - 3) - 6 - 6 do -(x - 3) 0 x |R A2 max = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vậy A2 max = - 6 x = 3 Ví dụ 1.3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A3 = (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 2014 Giải : Ta có : A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2014 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2014 = (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2014 = {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2014 = (x2-9x + 14)2 - 36 + 2014 19
20. Trường THCS Phạm Ngũ Lão, Ninh Hòa,Khánh Hòa Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ = (x2-9x + 14)2 + 1978 1978 vì (x2-9x + 14)2 0 x x 2 x 2 2 A3 min = 1978 x -9x + 14 = 0 . Vậy A3 min = 1978 x 7 x 7 2x 2 10x 1 Ví dụ 1.4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A4 = (x 1) x 2 2x 1 Giải : 2x 2 10x 1 2(x 2 2x 1) 6(x 1) 9 6 9 Ta có: A4 = 2 x 2 2x 1 (x 1) 2 x 1 (x 1) 2 2 2 3 3 = - 1 3 3 vì - 1 0 x x 1 x 1 3 A4 Max = 3 1 0 x = -2. Vậy : A4 Max = 3 x = -2 x 1 x y Ví dụ 1.5 : Tìm giá trị lớn nhất của A5 = x y với x,y>0 y x Giải : x y x x y y x y y x x( x y) y( x y) Ta có:A5= x y = y x xy xy ( x y).(x y) ( x y)2.( x y) A5 = = 0x,y > 0 xy xy A 5 min = 0 x y 0 x = y. Vậy : A5 min = 0 x = y > 0 2 2 Ví dụ 1.6 : Cho x,y 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A6 = x + y . Giải : x 0 x 1 1 1 Hướng dẫn : A6 max = 1 ; ; A6 min = x = y = y 1 y 0 2 2 2 2 2 Ví dụ 1.7 : Tìm giá trị lớn nhất của A7 = xy + yz + zx - x -y -z 1 2 2 2 Hướng dẫn : + Biển đổi A7 = - {(x-y) + (y-z) + (z-x) } 0x,y,z 2 + ĐS A7 Max = 0 x = y = z 1.2. Nhận xét: Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích. Vậy còn những phương pháp nào; để cùng phương pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trước hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm. 1.3. Các bài tập đề nghị : 20