Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 Phương pháp dùng biêu thức liên hợp

Nội dung tài liệu: Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 Phương pháp dùng biêu thức liên hợp

1. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP Ví dụ1: Giải phương trình 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0 (Nhận xét: ta tìm số làm cho cả hai biểu thức dưới căn chính phương và là nghiệm , x= 5 là nghiệm nên ta đưa PT về dạng (x-5) . Q(x) ) Giải: 1 Điều kiện : x 6 3 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0 ( 3x 1 4) (1 6 x) 3x2 14x 5 0 3 1 (x 5) (3x 1) 0 3x 1 4 6 x 1 1 3 1 Với x 6 thì (3x 1) 0 3 3x 1 4 6 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 5. Ví dụ2: Giải phương trình 2x 1 x2 3x 1 0 Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-1).f(x) =0 như sau.) 1 ĐK : x 2 2x 1 x2 3x 1 0 x 1 2 2(x 1) 2x 1 1 x 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0 2(x 1) 2x 1 1 x 2 0(*) 2x 1 1 Giải(*) Đặt t 2x 1 0 ta có PT: t2 +2t-1=0. Giải được t 2 1 x 2 2 Vậy PT đã cho có hai nghiệm : x = 1 ; x 2 2 Ví dụ3: Giải phương trình 3(2 x 2) 2x x 6 Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như sau.) ĐK x 2 3(2 x 2) 2x x 6 3(2 x 2) 2x x 6 2(x 3) x 6 3 x 2 0 8(x 3) 2(x 3) 0 x 6 3 x 2 x 3 0 x 3 x 3 8(x 3) 11 3 5 2 0 x 6 3 x 2 4 x x 6 3 x 2 2
2. 1 x 2x x2 Ví dụ4: Giải phương trình : x 1 x2 Giải: 1 (Phân tích: Nhận thấy x = là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (1-2x).f(x) =0 như 2 sau.) Đ K: 0< x 1 2 1 x 2x x 2 (1 x ) 1 x (2x x2 ). x x2 ( 1 x x) ( 1 x 2x x) 0 x 1 x2 x2 (1 2x) 1 x 4x3 x2 2x2 x 1 0 (1 2x) 0 1 x x 1 x 2x x 1 x x 1 x 2x x 1 2x 0 x2 2x2 x 1 0(*) 1 x x 1 x 2x x Với 0< x 1 thì (*) vô nghiệm. 1 Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x = 2 Ví dụ5: Giải phương trình 9 4x 1 3x 2 x 3 Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 6 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-6).f(x) =0 như sau.) 2 ĐK: x 3 9 4x 1 3x 2 x 3 9 4x 1 5 4 3x 2 x 6 x 6 36 27 (x 6) 0 36 27 4x 1 5 3x 2 4 0 (*) 4x 1 5 3x 2 4 2 Với x chứng minh (*) vô nghiệm 3 Vậy PT đã cho có một nghiệm x= 6. Ví dụ6: Giải phương trình x2 12 5 3x x2 5 Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-2).f(x) =0 như sau.) 5 x2 12 5 3x x2 5 x2 12 x2 5 3x 5 . Vì VT > 0 nên ĐK : 3x-5 > 0 x > 3 Phương trình tương đương với :
3. x2 12 5 3x x2 5 x2 12 x2 5 3x 5 x2 4 x2 4 x2 12 4 3x 6 x2 5 3 3(x 2) x2 12 4 x2 5 3 ... x 2 Ví dụ7: Giải phương trình 3 x2 1 x x3 1 Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như sau.) ĐK : x 3 2 3 x2 1 x x3 2 3 x2 1 2 x 3 x3 2 5 x 3 (x 3)(x2 3x 9) (x 3) 1 3 2 2 3 2 3 (x 1) 2 (x 1) 4 x 2 5 Ta chứng minh được: x 3 x 3 (x2 3x 9) 1 1 2 2 3 2 2 3 2 3 (x 1) 2 (x 1) 4 3 x2 1 1 3 x 2 5 Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ8: Giải phương trình x 2 4 x 2x2 5x 1 Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như sau.) ĐK: 2 x 4 x 2 4 x 2x2 5x 1 x 2 1 4 x 1 2x2 5x 1 x 3 x 3 (x 3)(2x 1) x 2 1 4 x 1 Nhận xét: 1 1 1 1 1 1; 2 1 2 2 . Lại có 2x+1 5 với 2 x 2 1 4 x 1 2 1 x 2 1 4 x 1 x 4 Vậy PT chỉ có nghiệm x = 3 Ví dụ9: Giải phương trình 3 x 2 3 x 1 3 2x2 3 2x2 1 Giải: ( Phân tích : VP 1 VT 1 x -1. Nhận thấy nếu 2x2 = x+1 thì hai vế PT bằng nhau gợi cho ta nghĩ đến việc phân tích ra thừa số chung 2x2 – x -1)
4. 3 x 2 3 x 1 3 2x2 3 2x2 1 3 2x2 1 3 x 2 3 2x2 3 x 1 0 2x2 x 1 2x2 x 1 0 3 (2x2 1)2 3 (2x2 1)(x 2) 3 (x 2)2 3 (2x2 )2 3 (2x2 )(x 1) 3 (x 1)2 2x2 x 1 0 1 1 0(*) 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 (2x 1) (2x 1)(x 2) (x 2) (2x ) (2x )(x 1) (x 1) Dể nhận ra (*) vô nghiệm với x -1 1 Vậy PT có nghiệm : x= -1 ; x 2 Ví dụ10: Giải phương trình 3 x 24 12 x 6 Giải: ĐK : x 12 3 x 24 12 x 6 3 x 24 3 12 x 3 0 x 3 3 x 0 3 (x 24)2 33 x 24 9 12 x 3 x 3 3 2 3 12 x (x 24) 3 x 24 6 0(*) Thay 6 = 3 x 24 12 x vào (*) Ta được 3 (x 24)2 4 3 x 24 0 x = -24; x = -88 Vậy PT đã cho có 3 nghiệm + x = 3 ;x = -24; x = -88 1 1 3 Ví dụ11: Giải phương trình 1 1 x 1 1 x x Giải: 1 x 0 1 x 0 Điều kiện : 1 x 1,x 0 1 1 x 0 x 0 Phương trình đã cho tương đương với : 1 1 x 1 1 x 3 2 1 x 3 x x x 1 4(1 x) 3 x ( nhận) 4 Một số phương trình căn thức giải được nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa chọn hợp lý các biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình. Ta xét các ví dụ sau. Ví dụ11: Giải phương trình : 1 x 1 1 x 2x 5 x Giải: ĐK : x -1 Ta có x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta nhân hai vế PT với : 1 x 1 ta được PT:
5. x 1 x 2x 5 x 1 x 1 1 x 2x 5 1 x 1 x 2 Ví dụ12: Giải phương trình 2x2 3x 5 2x2 3x 5 3x Giải: Vì VT > 0 ĐK x >0 Nhân hai vế PT đã cho với : 2x2 3x 5 2x2 3x 5 0 Ta được PT: 2x2 3x 5 2x2 3x 5 0 6x 3x 2x2 3x 5 2x2 3x 5 2x2 3x 5 2x2 3x 5 2(*) Cộng hai vế PT đã cho với PT (*) ta được PT: 2 2x2 3x 5 2 3x x 4 Thử lại thấy x = 4 là nghiệm. Ví dụ13: Giải phương trình 2x 3 x 2x 6 Giải : 3 ĐK: x 2 2x 3 x 2x 3 x 2x 3 x 2x 6 2(x 3) 2x 3 x 1 x 3 2 0 2x 3 x 1 Vì : 2 0 2x 3 x Nên PT có nghiệm x = 3 Ví dụ14: Giải phương trình 2x2 11x 21 33 4x 4 Giải: 3 3 4x 4 2 3 (4x 4)2 2 3 4x 4 4 3 2x2 11x 21 3 4x 4 (x 3)(2x 5) 3 (4x 4)2 2 3 4x 4 4 12 x 3 2x 5 t2 2t 4 Với t = 3 4x 4 12 Khi x > 3 thì 2x – 5 > 1 , khi đó 1 PT vô nghiệm khi x >3 t2 2t 4 Khi x < 3 chứng minh tương tự Vậy PT có nghiệm x =3. 6x 4 Ví dụ15: Giải phương trình 2x 4 2 2 x x2 4
6. Giải: ĐK: 2 x 2 6x 4 2 3x 2 2(3x 2) 2x 4 2 2 x x2 4 2x 4 2 2 x x2 4 x 3 2 2x 4 2 2 x x 4 (*) (*) 4 2(2 x)(2 x) (2 x)(x 4) 0 *) 4 2(2 x)(2 x) (2 x)(x 4) 0 2 x 4 2(2 x) (2 x).(x 4) 0 x 2 Vậy PT đã cho có hai nghiệm x=2; x = 3 Ví dụ16: Giải phương trình x2 9x 20 2 3x 10 10 Giải: ĐK : x 3 2 3x 10 1 3x 10 1 x2 9x 20 2 3x 10 (x 3)(x 6) 3x 10 1 x 3 6 (x 3) (x 6) 0 6 3x 10 1 (x 6) 0(*) 3x 10 1 6 6 Khi x -3 thì x+6 > 3 và 3 PT (*)vô nghiệm. 3x 10 1 1 1 10 Tương tự x 3 thì PT (*) cũng vô nghiệm. 3 Vậy PT có một nghiệm x = -3 Ví dụ16:Giải phương trình x 1 x 1 2 x x2 2 Giải: ĐK : -1 x 2 x 1 x 1 2 x x2 2 (x2 x) 2 2 x (1 x 1) 0 x x x(x 1) 0 2 2 x 1 x 1 x 0 x x x 1 0 (*) 2 2 x 1 x 1 Giải (*)
7. x 1 x 1 x 1 2 1 2 x (*) (x 1) 0 (x 1) x 1 2 1 2 x 0 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 1 1 (x 1) 1 x 1 2 1 2 x 0 x 1 x 1 2 x 1 2 Vậy PT đã cho có hai nghiệm : x = 0 ; x =1 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1 1 1. 2(x 3 1) x x 2 1 x x 2 1 x 3 2. 4x 1 3x 2 5 3. 2x 1 x2 3x 1 0 4. ( 1 x 1)( 1 x 2x 5) x 5. 2x2 1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2 x 2 6. 2x2 16x 18 x2 1 2x 4 1 1 7. x 2 2x 1 x2 x 8. 2x 5 3 x x2 5x 8 9. 1 x2 4x x2 3x 3 2x2 x 2