Chuyên đề Phương trình chứa dấu tuyệt đối Toán 10

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Phương trình chứa dấu tuyệt đối Toán 10

1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI A. NHẮC LẠI LÝ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A nếu A 0 ➢ 1. A A nếu A 0 ➢ A B B A ➢ A A . Dấu “=” khi A 0 ➢ A 2 A2 ➢ A B A B . Dấu “=” khi A.B 0 B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI. I. Phương pháp biến đổi tương đương. A B Dạng 1 : A B A B Dạng2 : A B A 0 A B + Cách 1 ( SGK lớp 8) A B A 0 A B B 0 A B + Cách 2: A B B 0 A B + Cách 3: Biến đổi thành phương trình hệ quả rồi thử giá trị x vừa tìm để nhận nghiệm. A B A B A B B 0 A B Cách 4: 2 2 A B Chú ý rằng nếu phương trình ở dạng 2 mà bất phương trình A 0 khĩ giải thì ta giải bằng cách 2. Cịn nếu cả hai bất phương trình A 0 và B 0 đều khĩ giải thì ta giải cách 3. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x 4 x3 x 4 Giải : Bài này ta giải cách 1: x 4 x3 x 4 3 x 4 0 x 4 x x 4 3 x 4 x x 4 x 4 0 Giải ta được nghiệm S 0; 2; 2
2. Ví dụ 2; Giải phương trình sau: x3 x 4 x 4 Giải: (Ở bài này bất phương trình x3 –x + 4 0 khĩ giải, nê ta giải bằng cách 2) x3 x 4 x 4 3 x 4 0 x x 4 x 4 . 3 x x 4 x 4 x 4 0 Giải ta được nghiệm S 0; 2; 2;2 Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x3 x 1 x3 x 1 Giải: (Ở bài này cả hai bất phương trình x3 –x - 1 0 và x3 + x + 1 0 khĩ giải, nê ta giải bằng cách 3) 3 3 x x 1 x x 3 x 1 x3 x 1 x3 x 1 3 3 x 0 x x 1 x x 3 Thử lại ta được nghiệm: x = 0 Ví dụ 4: Giải phương trình sau x2 x 5x2 7x 1 Giải: x2 x 5x2 7x 1 x2 x 5x2 7x 1 2 2 x x 5x 7x 1 Lần lượt giải hai phương trình trên ta được bốn nghiệm là: 3 13 4 22 x ; x 4 6 Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x2 5x 4 x 4 Giải: x 4 0 2 x 5x 4 x 4 2 2 2 x 5x 4 (x 4) 0 Giải ta được hai nghiệm : x= 0; x =6 Ví dụ 6: Giải phương trình sau 2x2 8x 15 4x 1 Giải: 4x 1 0 2x2 8x 15 4x 1 2x2 8x 15 4x 1 2 2x 8x 15 4x 1
3. 1 1 x x 4 4 x 1 2x2 4x 16 0 x 2  x 4 x 2 2 2x 12x 14 0 x 1 x 7 Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau : 1. 3x 4 x 2 2. 3x2 2 6 x2 3. x2 8x 7 2x 9 4. x2 5x 4 x2 6x 5 5. x 2 x 12 3 x 6. x 2 5x 6 3x 13 7. x 1 1 2 II. Phương pháp chia khoảng . Phương pháp này thường dùng cho phương trình chứa nhiều dầu tuyệt đối. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x 2 x 1 2 x x 1 (1) Giải : Ta chia khoảng đề bỏ dấu tuyệt đối như sau. x 1 2 x 1 1-x 0 x-1 | x-1 2 x x-2 | 2-x 0 2-x Dựa vào bảng trên ta cĩ: * Khi x < 1 thì (1) x2 – x + 1 –2 + x + x = 1 x2 + x – 2 = 0 x = 1 (loại) hoặc x = –2 (nhận) * Khi 1 x < 2 thì (1) x2 + x – 1 –2 + x + x = 1 x2 + 3x – 4 = 0 x = – 4 (loại) hoặc x = 1 (nhận) * Khi x 2 thì (1) x2 + x – 1 +2 – x + x = 1 x2 + x = 0 x = – 1 (loại) hoặc x = 0 (loại) Vậy PT đã cho cĩ hai nghiệm x = -2; x = 1 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x 2 21 x 32 x 2x 10 0 (1) Giải : Ta chia khoảng đề bỏ dấu tuyệt đối như sau. x 1 2 x 1 1-x 0 x-1 | x-1 2 x x-2 | 2-x 0 2-x * Khi x < 1 thì (1) x2 + 2 – 2x + 6 –3x + 2x – 10 = 0
4. 3 17 3 17 x2 – 3x – 2 = 0 x (nhận)  x (loại) 2 2 *Khi 1 x < 2 thì (1) x2 – 2 + 2x + 6 – 3x + 2x – 10 = 0 x2 + x – 6 = 0 x = – 3 (loại) hoặc x = 2 (loại ) * Khi x 2 thì (1) x2 – 2 + 2x – 6 + 3x + 2x – 10 = 0 x2 + 7x – 18 = 0 x = – 9 (loại) hoặc x = 2 (nhận) 3 17 Vậy PT đã cho cĩ hai nghiệm : x = 2; x 2 x 2 x 42 Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x x 7 Giải: x2 x 42 (x 7)(x 6) x x (1) x 7 x 7 * Nếu x > 7 thì (1) x + 6 = x vơ nghiệm * Nếu x < 7 thì (1) –(x + 6) = x 2x = –6 x = – 3 ( nhận) Vậy PT cĩ một nghiệm x = -3 Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau : 1. x2 1 x2 3x 2 2005 2005x x 1 0 2. x2 5 x 1 1 0 x2 1 3. x x 2 4. x2 5 x 6 0 5. 2x 3 x x 1 2x 4 6. x3 x2 x 2 2x3 2x2 x 2 y^ III.Phương pháp dùng đồ thị Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x 1 3 x 1 x 2 x 2 x 2 Giải : -2 2 x x 1 3 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 3 x 1 x 2 x 2 x 2 0 o > Đặt VT = y = x 1 3 x 1 x 2 x 2 x 2 Chia khoảng như phương pháp 2 ta rút gọn được : 2x 4 nếu x<1 -2 nếu -1 x<0 y -2x-2 nếu 0 x<1 4x-8 nếu 1 x<2 0 nếu x 2
5. Ta vẽ đồ thị của hàm số y như sau: Đồ thị và đường thẳng y =0 (trục hồnh ) Cĩ diểm chung hồnh độ bằng -2 và tia Dx ( khi x 2) Vậy phương trình cĩ nghiệm x = -2 và x 2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau chỉ cĩ hai nghiệm : x 1 x 3 m 0 Giải: x 1 x 3 m 0 x 1 x 3 m Ta đặt y = x 1 x 3 và y=m . Vẽ hai đồ thị này trên mặt phẳng Oxy. Căn cứ vào đồ thị ta được Khi m > 2 thì hai đồ thị cắt tại hai điểm, ^ Vậy m > 2 phương trình đã cho cĩ hai nghiệm. y 4 2 y = m m x > o 1 3 Bài tập tương tự : 1.Dùng đồ thị ,giải các phương trình sau : x 1 1 2 2. Tìm m để PT sau cĩ nhiều hơn 2 nghiệm: y 4x y 3 x 1 m 0 4 IV. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2 5x 5 2x2 10x 11 Giải: x2 5x 5 2x2 10x 11 x2 5x 5 2x2 10x 11 x2 5x 5 2(x2 5x 5) 1 Đặt x2 – 5x +5 = t ta cĩ phương trình : t 2t 1 (* ) . 1 Vì VT 0 nên ĐK : t . Nên phương trình (*) -t = -2t – 1 t = -1 2 x2 – 5x +5 = -1 Giải được x =2; x = 3. Bài tập tương tự :
6. Giải các phương trình sau : 2 3 1. x 3 x 4 1 2. x2 2x 3 3x2 6x 3 V. Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức về tuyệt đối. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2 2014x 2013 x2 2014x 2015 4028 Giải: x2 2014x 2013 x2 2014x 2015 4028 4028= x2 2014x 2013 x2 2014x 2015 x2 2014x 2013 x2 2014x 2015 x2 2014x 2013 x2 2014x 2015 4028 (x2 -2014x+2013)(- x2 +2014x+2015) 0 (x-1)(x-2013)(x+1)(x-2015) 0 -1 x 1 hoặc 2013 x 2015. Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x 1 2x 4 3x 9 4x 16 5x 25 15 0 Giải: x 1 2x 4 3x 9 4x 16 5x 25 15 0 x 1 2x 4 3x 9 4 x 25 5x 3 x 4 15 Ta cĩ VT (x 1) (2x 4) (3x 9) (4 x) (25 5x) 3 x 4 15 3 x 4 15 Từ đĩ suy ra phương trình cĩ nghiệm x =4 Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn x 15 x 3 x 100 x 995 x 999 2013 Giải: Nhận xét 3+15+999+995= 2012 và a a nên ta cĩ 3 x 3 x 15 x 15 x x 100 x 100 cộng các bất đẳng thức được: x 995 x 995 x 999 x 999 2013 x 100 +2012 x 100 1 x = -99; x = -100 , x= -101 . Nhưng x = -100 thay vào PT được 2013 = 2012 (loại) Vậy x = -99; x = -101 Vạn Giã Tháng 02/2014 Người viết Lương Cơng Hiển