Đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp huyện Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Phù Ninh (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp huyện Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Phù Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS PHÙ NINH NĂM HỌC: 2019 - 2020 MÔN: Toán ĐỀ SỐ 1 Thời gian làm bài :150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 03 trang. A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) 5 3x Câu 1: Biểu thức có nghĩa khi nào? 6 x2 x 5 5 A. 3 x 2 . B. x 2. C. x 3 hoặc x 2. D. 3 x . 3 3 Câu 2: Cho A 4 2 3 4 2 3; B 18 8 2 18 8 2 . Mối liên hệ giữa A và B là : A. A2 B 4 B. A2 B 20 C. AB 16 3 D. Cả A, B, C. Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác AD, D BC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . AB AC AD AB AC AD AB AC AD AB AC AD 1 Câu 4: Giá trị lớn nhất của biểu thức B là: x x 1 4 1 3 1 A. max B khi x B. max B khi x 3 4 4 4 4 1 4 1 C. max B khi x D. max B khi x 3 4 3 4 Câu 5: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HD  AB(D AB) , HE  AC(E AC) thì AD.BD AE.EC bằng: A. AC 2 B. BC 2 C. AH 2 D. 2AH 2 x 1 x 2 1 Câu 6: Cho biểu thức M . , với giá trị nào của x thì có giá trị x 4 x 2 2 M nguyên A. x 1 B. x 4 C. x 0 D. x 2 tan cot 2 Câu 7: Cho 300 và P . Kết quả nào sau đây đúng ? 2 tan 2 cot 2 3 6 3 3 6 A. P B. P 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 6 C. P D. P 3 3 2 3 2 Câu 8: Cho x 3 5 2 6 3 5 2 6 thì giá trị của biểu thức A x3 3x 2008 là: A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 Câu 9: Cho tam giác nhọn ABC có ·ABC ·ACB , kẻ đường cao AH, trung tuyến AM M , H BC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? cot C - cot B cot B - cot C A. tan H· AM . B. tan H· AM . 2 2
2. tanC - tan B cosC - cos B C. tan H· AM . D. tan H· AM . 2 2 2m 1 Câu 10: Giá trị của m để phương trình m 3 vô nghiệm là: x 2 1 1 1 A. m 3 B. m C. m 3; m D. m 2 2 2 Câu 11: Một tam giác đều ABC cạnh a . Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A. a 3 B. a C. a 3 D. a 2 3 4 2 3 Câu 12: Các đường thẳng y 5 x 1 ; y ax 3; y 3x a đồng quy với giá trị nào của a: A. – 10 B. – 11 C. – 12 D. – 13. Câu 13: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a 2. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD bằng A. a B. a 2 C. 2a D. a 3 Câu 14: Đường thẳng: (2m + 3)x + (m + 5)y + 4m - 1= 0 luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tọa độ của điểm cố định đó là: A. (3;2) B. (-3;-2) C. (-3;2) D. (3;-2) Câu 15: Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 4 thì tỉ số hai hình chiếu của 9 hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền là: A. 2 B. 16 C. 4 D. 9 3 81 9 4 x y xy 5 Câu 16. Giải hệ phương trình 2 2 . Tập nghiệm của hệ phương trình là? x y 5 A. S 2;3 ; 3;2  B. S 3;2 ; 5;10  C. S 1;2 ; 2;1  D. S 2;5 ; 5;2  B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: ( 3 điểm) 64 a) Đặt a 3 2 3 3 2 3 . Chứng minh rằng M = 3a là số chính phương. (a 2 3)3 b) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. Câu 2: ( 3 điểm) 6 a) Giải phương trình: x2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x + + 5 x b) Cho đường thẳng y m 3 x 2 (d) . 1. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất Câu 3: ( 4 điểm)
3. Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. Gọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M. Tia BM cắt ND tại P. 1) Chứng minh IC.CN = IN.CM. 2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD. Câu 4: ( 2 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 Chứng minh rằng: xyz x y z .................................... Hết ........................................ (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh........................................................ SBD..................................
4. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2019- 2020 Môn: Toán A. TRĂC NGHIỆM: 8 điểm (Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án D D B D D C C B Câu 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B C B A C D B C B. PHẦN TỰ LUẬN Câu Đáp án Điểm a) Từ a 3 2 3 3 2 3 a3 ( 3 2 3 3 2 3)3 0.25đ 3 3 a = 3a +4 a - 3a = 4 0.5đ Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 - 3 ) = 4 a2 - 3 = 4 : a (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) 64 Thay vào và rút gọn ta có M = 3a = a3 - 3a = 4 0.5đ (a 2 3)3 Vậy M là số chính phương . 0.25đ b) Gọi x, y, z là ba số nguyên tố cần tìm ta có: xyz = 5(x+y+z). 0.25đ Tích ba số nguyên tố xyz chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Câu 1 Do x,y,zlà các số có vai trò như nhau nên : Giả sử x = 5 được 5yz = 5(5+y+z) yz = 5+y+z. 0.5đ yz -y - x + 1 = 6 (y-1)(z-1) = 6. Khi đó ta có: y 1 1 y 2 *) ( thỏa mãn) z 1 6 z 7 0.5đ y 1 2 y 3 *) ( loại vì 4 là hợp số) 0.25đ z 1 3 z 4 Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 6 a) Giải phương trình: x2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x + + 5 (*) x 0.25đ Điều kiện: x > 0.. x2 + 5x + 6 (*) Û x (x + 3) + 2 x + 2 - 2x - = 0 x 0.5đ x + 3 (x + 2)(x + 3) Û x - + 2 x + 2 - 2x = 0 x x
5. x + 3 Û x - x + 2 - 2 x - x + 2 = 0 x ( ) ( ) æ ö ç x + 3 ÷ Û (x - x + 2)ç - 2÷= 0 èç x ø÷ x + 3 Û x - x + 2 = 0 hoặc - 2 = 0 x 0.5đ Nếu x - x + 2 = 0 Tìm được x = 2 thỏa mãn x + 3 Nếu - 2 = 0 Tìm được x = 1 thỏa mãn x Kết luận 0.25đ Câu 2 1. Điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là A(0; 2) 0.5đ 2. Điểm cắt trục tung A(0; 2) OA 2 2 2 2 0.25đ Điểm cắt trục hoành B ( ;0) OB m 3 m 3 m 3 1 1 1 AOB vuông ở O, kẻ OH  AB . Áp dụng hệ thức: h2 b2 c2 1 1 1 OA2OB2 0.25đ OH2 OH2 OA2 OB2 OA2 OB2 2 16 4 m 1 4 4 OH2 : 0.25đ m 3 2 m 3 2 m 3 2 1 OH đạt GTLN khi và chỉ khi OH2 đạt GTLN mà ta có m 3 2 1 1 đạt GTNN là 1 khi m = 3 0.25đ Vậy max OH = 2 m 3 Câu 3 0.5 B A C I M N P D K
6. 0.75 + Do ABCD là hình thoi => AB =BC = CD = AD = a IC BC a + BI là đường phân giác của tam giác BNC => IN BN BN + AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét trong tam giác NBC ta có: 0.75 MC AB a CN BN BN MC IC a Nên ( ) => IC.CN = IN.CM. CN IN BN + Chứng minh được hai tam giác BNC và DCM đồng dạng (g.g) 0.5 BC BN => => DM.BN = a2 DM DC Ta có AB = AD = a và BD = a => tam giác ABD đều => 0.5 ·ABD B· DM 600 (1) a BN BD BN Lại có DM.BN = a2 => => (2) DM a DM BD 0.5 Từ (1) và (2) => Hai tam giác MDB và DBN đồng dạng (c.g.c) => B· ND D· BM Xét hai tam giác DBP và DNB có góc D chung và B· ND D· BM 0.5 => Hai tam giác DBP và DNB đồng dạng (g.g) => N· BD B· PD 600 Câu 4 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz . 0,5 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 Chứng minh rằng: xyz x y z 1 1 1 Từ Gt suy ra: 1. xy yz zx 1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 Nên ta có: 2 x x xy yz zx x y x z 0,5 1 2 1 1 ;" " y z 2 x y z 1 1 x2 1 4 1 1 0,25 Vậy . x 2 x y z 1 1 y2 1 1 4 1 1 1 z2 1 1 1 4 Tương tụ ta có ; y 2 x y z z 2 x y z 0,5 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 Vậy ta có x y z 1 1 1 3 ;" " x y z x y z 2 1 2 2 2 Ta có x y x 3 xy yz xx .... x y y z x z 0 2 Nên x y x 2 3 xy yz xx 2 xy yz xz 1 1 1 xyz 3 xy yz xz 3 xyz 3 xyz xyz x y z 0,25
7. 1 1 x2 1 1 y2 1 1 z2 Vậy xyz ; " " x y z x y z