Tuyển tập 22 đề thi HSG Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Nguyễn Văn Tú (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Tuyển tập 22 đề thi HSG Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Nguyễn Văn Tú (Có đáp án)

1. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 Gv: Nguyễn Văn Tú 1 Trường THCS Thanh Mỹ
2. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 2 x 4 0 x 0 1,0 2 x 0 x 2 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( ) : ( ) . 1,0 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với x 0, x 3, x 2 : A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7 4 x 7 4 0,5 x 7 4 x 11(TMDKXD) 0,25 x 3(KTMDKXD) 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 a b c ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 0,5 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 Gv: Nguyễn Văn Tú 2 Trường THCS Thanh Mỹ
3. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC 0,5 AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). Gv: Nguyễn Văn Tú 3 Trường THCS Thanh Mỹ
4. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 a b c a2 b2 c2 c. Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b x 2 1 10 x2 Câu2. ho biểu thức: C A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4. 1 1 1 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c b. Cho a, b dương với a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu Đáp án Điểm a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) (2 điểm) Câu 1 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) (6 điểm) b. x4 30x2 31x 30 0 x2 x 1 x 5 x 6 0 (*) 1 3 Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 x 2 4  (*) (x - 5)(x + 6) = 0 x 5 0 x 5  x 6 0 x 6 (2 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 4 Trường THCS Thanh Mỹ
5. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 a b c c. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm) x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn được kq: A x 2 (1.5 điểm) 1 1 1 Câu 2 b. x x hoặc x (6 điểm) 2 2 2 4 4 A hoặc A 3 5 (1.5 điểm) c. A 0 x 2 (1.5 điểm) 1 d. A Z Z ... x 1;3 (1.5 điểm) x 2 E HV + GT + KL A B (1 điểm) F M D C Câu 3 a. Chứng minh: AE FM DF (6 điểm) AED DFC đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. (1 điểm) 1 b c 1 a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 b b b Câu 4: 1 a b (2 điểm) 1 c c c (1 điểm) 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 Gv: Nguyễn Văn Tú 5 Trường THCS Thanh Mỹ
6. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoặc b = 1 (1 điểm) Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 §Ò thi SỐ 3 a 3 4a 2 a 4 C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P= a 3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph­¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a b c A = 3 b c a a c b a b c C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh : BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) Gv: Nguyễn Văn Tú 6 Trường THCS Thanh Mỹ
7. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nªu §KX§ : a 1;a 2;a 4 0,25 a 1 Rót gän P= 0,25 a 2 a 2 3 3 b) (0,5®) P= 1 ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ ­íc cña 3, a 2 a 2 mµ ¦(3)= 1;1; 3;3 0,25 Tõ ®ã t×m ®­îc a 1;3;5 0,25 C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a 2 2ab b 2 ) 3ab= =(a+b)(a b) 2 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; Do vËy (a+b)(a b) 2 3ab chia hÕt cho 9 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta t×m ®­îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25 C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Ph­¬ng tr×nh trë thµnh : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 0,25 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Tõ ®ã t×m ®­îc x=-13; x=2; 0,25 Gv: Nguyễn Văn Tú 7 Trường THCS Thanh Mỹ
8. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y z x z x y Tõ ®ã suy ra a= ;b ;c ; 0,5 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z Thay vµo ta ®­îc A= ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Tõ ®ã suy ra A (2 2 2) hay A 3 0,25 2 C©u 4 : (3 ®) a) (1®) ˆ 0 ˆ Trong tam gi¸c BDM ta cã : D1 120 M 1 ˆ 0 ˆ 0 ˆ V× M 2 =60 nªn ta cã : M 3 120 M 1 y A ˆ ˆ Suy ra D1 M 3 x Chøng minh BMD ∾ CEM (1) E 0,5 D 2 BD CM 1 Suy ra , tõ ®ã BD.CE=BM.CM 2 BM CE 3 B 1 C M BC BC 2 V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 0,5 2 4 BD MD b) (1®) Tõ (1) suy ra mµ BM=CM nªn ta cã CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 ˆ ˆ Tõ ®ã suy ra D1 D2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Chøng minh t­¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5 c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5 C©u 5 : (1®) Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®­îc : Gv: Nguyễn Văn Tú 8 Trường THCS Thanh Mỹ
9. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Tõ ®ã ta t×m ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ÑEÀ THI SOÁ 4 Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû A a 1 a 3 a 5 a 7 15 Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc: x a x 10 1 phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4 3x3 ax b chia heát cho ña thöùc B(x) x2 3x 4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 1 1 1 1 P ... 1 22 32 44 1002 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Caâu Ñaùp aùn Bieåu ñieåm 1 A a 1 a 3 a 5 a 7 15 2 ñ a2 8a 7 a2 8a 15 15 0,5 ñ 0,5 ñ 2 a2 8a 22 a2 8a 120 0,5 ñ 2 0,5 ñ a2 8a 11 1 a2 8a 12 a2 8a 10 a 2 a 6 a2 8a 10 2 Giaû söû: x a x 10 1 x m x n ;(m,n Z) 0,25 ñ 2 ñ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn 0,25 ñ 0,25 ñ m n a 10 m.n 10a 1 Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1 0,25 ñ Gv: Nguyễn Văn Tú 9 Trường THCS Thanh Mỹ
10. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 mn 10m 10n 100 1 0,25 ñ m(n 10) 10n 10) 1 0,25 ñ m 10 1 m 10 1 0,25 ñ v 0,25 ñ vì m,n nguyeân ta coù: n 10 1 n 10 1 suy ra a = 12 hoaëc a =8 3 Ta coù: 1 ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ 0,5 ñ a 3 0 a 3 Ñeå A(x)B(x) thì b 4 0 b 4 4 3 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 0,25 ñ Hx laø phaân giaùc cuûa goùc A· HB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc A· HC maø A· HB 0,25 ñ · vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc 0,25 ñ Hay D· HE = 900 maët khaùc A· DH A· EH = 900 0,5 ñ Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) ·AHB 900 0,5 ñ ·AHD 450 2 2 ·AHC 900 0,25 ñ Do ·AHE 450 2 2 0,25 ñ 0,25 ñ ·AHD ·AHE Hay HA laø phaân giaùc D· HE (2) Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 5 1 1 1 1 P ... 2 ñ 22 32 44 1002 1 1 1 1 0,5 ñ ... 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 0,5 ñ ... 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 0,5 ñ 1 ... 2 2 3 99 100 1 99 0,5 ñ 1 1 100 100 ĐỀ THI SỐ 5 Bài 1: (4 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 10 Trường THCS Thanh Mỹ
11. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b)x 4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 . 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: A· FE B· FD, B· DF C· DE, C· ED A· EF . a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z 3 x3 y3 z3 = y z x y z 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 2 = y z 3x 3xy 3yz 3zx = 3 y z x x y z x y = 3 x y y z z x . Gv: Nguyễn Văn Tú 11 Trường THCS Thanh Mỹ
12. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x4 x 2010x2 2010x 2010 = x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2010 . Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 3: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a 2 19 a 2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a 2 49 3a 2 3a 1 49 49a 2 49a 49 57a 2 57a 19 8a 2 8a 30 0 3 a 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 (thoả ĐK) 5 a 2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. 2 2 Bài 4: 2010x 2680 A x2 1 335x2 335 335x2 2010x 3015 335(x 3)2 = 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5:  o a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ Aµ F 90 ) C Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân Gv: Nguyễn Văn Tú 12 Trường THCS Thanh Mỹ D F A E B
13. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 giác của B· AC . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 6: a) Đặt A· FE B· FD , B· DF C· DE , C· ED A· EF . Ta có B· AC   1800 (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. A O· FD O· ED O· DF 90o (1)  E · · · o F  Ta có OFD  OED  ODF 270 (2)  (1) & (2)   180o (**)  O (*) & (**) B· AC B· DF. b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: Bµ , Cµ  s s AEF s DBF DEC ABC B D C BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Gv: Nguyễn Văn Tú 13 Trường THCS Thanh Mỹ
14. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A ( 0,25điểm ) (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k2 2 với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) 2 abcd k abcd 1353 m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 14 Trường THCS Thanh Mỹ
15. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) A 1 .HA'.BC SHBC 2 HA' C’ B’ x a) ; H SABC 1 AA' N .AA'.BC M 2 I A’ C (0,25điểm) B S HC' HAB SHAC HB' D Tương tự: ; SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ 7 Gv: Nguyễn Văn Tú 15 Trường THCS Thanh Mỹ
16. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 Bài 1 (4 điểm) 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x a, Rút gọn biểu thức A. 2 b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a2 b2 c2 ab ac bc . Chứng minh rằng a b c. Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5. Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A= : 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5đ = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 = (1 x 2 ) : 0,5đ (1 x) = (1 x 2 )(1 x) 0,5đ b, (1 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 16 Trường THCS Thanh Mỹ
17. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 2 5 5 5 0,25đ Tại x = 1 = thì A = 1 ( ) 2 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 = (1 )(1 ) 0,25đ 9 3 34 8 272 2 . 10 0,5đ 9 3 27 27 c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25đ Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 0,5đ KL 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5đ Biến đổi để có (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5đ Vì (a b) 2 0 ; (b c) 2 0 ; (a c) 2 0; với mọi a, b, c 0,5đ nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 2 0 ; (b c) 2 0 và (a c) 2 0 ; 0,5đ Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ Bài 3 (3 điểm) 0,5đ Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là x (x là số nguyên khác -11) x 11 Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x 7 0,5đ x 15 (x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình x = x 15 0,5đ x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ 5 Từ đó tìm được phân số 0,5đ 6 Bài 4 (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 0,5đ Vì a 2 2 0 a và (a 1) 2 0a nên (a 2 2)(a 1) 2 0a do đó 0,5đ (a 2 2)(a 1) 2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 0,25đ KL 0,25đ Bài 5 (3 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 17 Trường THCS Thanh Mỹ
18. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 B M N A D I C a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ b,(2điểm) 4 3 8 3 0,5đ Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 0,5đ Tính được NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 0,5đ DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 0,5đ Tính được AI = cm 3 A B Bài 6 (5 điểm) O M N C a, (1,5 điểm) D OM OD ON OC Lập luận để có , 0,5đ AB BD AB AC OD OC Lập luận để có 0,5đ DB AC OM ON OM = ON 0,5đ AB AB b, (1,5 điểm) OM DM OM AM Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) 0,5đ AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 0,5đ AB CD Gv: Nguyễn Văn Tú 18 Trường THCS Thanh Mỹ
19. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( ) 2 0,5đ AB CD AB CD MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị 0,5đ DT) ĐỀ SỐ 8 Bài 1: 2 2 2 2 2 Cho x = b c a ; y = a (b c) 2bc (b c)2 a2 Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: a, 1 = 1 + 1 + 1 (x là ẩn số) a b x a b x 2 2 2 b, (b c)(1 a) + (c a)(1 b) + (a b)(1 c) = 0 x a2 x b2 x c2 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x 1) = a + b (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Bài 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ SỐ 9 Bài 1: (2 điểm) 2 1 1 1 x 1 Cho biểu thức:A 3 1 2 2 1 : 3 x 1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 19 Trường THCS Thanh Mỹ
20. Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012 a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (3 điểm) 1 3 x 2 1 Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: 1 6y 2 a) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 b) x 2 4 3 2 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11 1 (2n chữ số 1), b = 44 4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. Gv: Nguyễn Văn Tú 20 Trường THCS Thanh Mỹ