23 Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Hùng Vương

Nội dung tài liệu: 23 Chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Hùng Vương

1. Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 25 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng 5 năm 2021
2. 1 Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Chủ đề 1. Hệ thức về cạnh và đường cao Chủ đề 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn Chủ đề 3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Chủ đề 4. Hệ thức giữa tỉ số lượng giác các góc Chủ đề 5. Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng tỉ số lượng giác Chủ đề 6. Xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Chủ đề 7. Đường kính và dây của đường tròn. liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Chủ đề 8. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Chủ đề 9. Vị trí tương đối của hai đường tròn Chủ đề 10. Vẽ hình phụ để giải toán trong chương đường tròn Chủ đề 11. Chứng minh một điểm di động trên một đường tròn hoặc một đường thẳng cố định Chủ đề 12. Góc ở tâm. số đo cung. liên hệ giữa cung và dây Chủ đề 13. Góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Chủ đề 14. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn Chủ đề 15. Cung chứa góc Chủ đề 16. Tứ giác nội tiếp Chủ đề 17. Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp Chủ đề 18. Độ dài đường tròn, cung tròn. diện tích hình tròn, hình quạt tròn Chủ đề 19. Một số hệ thức lượng trong đường tròn Chủ đề 20. Định lý ptôlêmê Chủ đề 21. Quỹ tích (tìm tập hợp điểm) Chủ đề 22. Đường thẳng simson Chủ đề 23. Hình trụ Chủ đề 24. Hình nón Chủ đề 25. Hình hình cầu Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3. Website:tailieumontoan.com CHƯƠNG I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A. Kiến thức cần nhớ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.1.1). Khi đó ta có: 1) b22= ab′′; c = ac ; 2) h2 = bc′′; 3) bc= ah ; 1 11 4) = + ; hbc2 22 5) abc2= 22 + (định lí Py-ta-go). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A ( A ≠°90 ), đường cao BH. Chứng minh rằng: 12AB = CH BC 2 Giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD= AC . 1 Do đó BA= AC = AD = CD . 2 Tam giác BCD có đường trung tuyến BA ứng với cạnh CD và 1 BA= CD nên tam giác BCD vuông tại B. 2 Xét ∆BCD vuông tại B, đường cao BH ta có: BC2 = CD. CH (hệ thức 1). 12AB Suy ra BC2 = 2. AB CH (vì CD= 2 AB ). Do đó = CH BC 2 Nhận xét: Đề bài cho BH là đường cao nhưng chưa phải đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Vì vậy ta vẽ thêm hình phụ để tạo ra tam giác vuông đỉnh B sao cho BH là đường cao ứng với cạnh huyền rồi vận dụng hệ thức (1). Ta cũng có thể vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại D. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4. Website:tailieumontoan.com Cách này cũng tạo ra một tam giác vuông với BH là đường cao ứng với cạnh huyền. Ví dụ 2. Hình thang ABCD có AD= =90 ° và BD⊥ BC . Biết AD=12 cm , CD = 25 cm . Tính diện tích hình thang. Giải Vẽ BH⊥ CD . Tứ giác ABHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Suy ra BH= AD =12 cm và AB= DH . Xét ∆BDC vuông tại B, đường cao BH ta có: BH2 = HD. HC (hệ thức 2). Đặt HD= x thì HC=25 − x ta được: 1222=x( 25 −⇔− xx) 25 x + 144 = 0 hay ( xx−16)( −= 9) 0 . Suy ra x =16 hoặc x = 9 . Với x =16 thì AB =16. (16+ 25) .12 Diện tích hình thang là: S = = 246(cm2 ) . 2 Với x = 9 thì AB = 9 . (9+ 25) .12 Diện tích hình thang là: S = = 204(cm2 ) . 2 Nhận xét: Để tính diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm độ dài AB. Ta vẽ BH⊥ CD để "chuyển" AB thành DH. Có thể tính được DH vì trong tam giác vuông BDC đã biết hai yếu tố về độ dài. Ngoài ra, ta cũng dùng một công cụ trong đại số là giải phương trình để tính toán độ dài DH. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 2a. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHD. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. Website:tailieumontoan.com Giải * Tìm cách giải: Để tính diện tích lớn nhất của tứ giác AEHD ta phải viết biểu thức tính diện tích của tứ giác AEHD theo độ dài đã biết, rồi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đó. * Trình bày lời giải: 1 Vẽ đường trung tuyến AM thì AM= BC = a . 2 Tứ giác AEHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Diện tích hình chữ nhật này là: S= AD. AE . AH 2 Xét ∆ABH vuông tại H ta có: AH2 = AB. AD (hệ thức 1), suy ra AD = AB AH 2 AH22 AH AH 4 Tương tự ta có AE = . Do đó S = . = . AC AB AC AB. AC AH43 AH Mặt khác AB.. AC= BC AH (hệ thức 3) nên S = = . BC. AH BC AM 3 Suy ra S ≤ (vì AH≤ AM ) BC aa32 Do đó S ≤= (dấu "=" xảy ra ⇔∆ABC vuông cân tại A). 22a a2 Vậy max S = khi ∆ABC vuông cân tại A. 2 Nhận xét: Để tìm sự liên hệ giữa chiều cao AH (chưa biết) với độ dài cạnh huyền BC (đã 1 biết) ta vẽ thêm đường trung tuyến AM. Do AH≤ AM ; AM= BC nên AH đã liên hệ 2 được với BC qua vai trò "bắc cầu" của AM. Ví dụ 4. Cho ba điểm A, B, C, trong đó A, B cố định, AB= BC = a . Vẽ tam giác ADE vuông 11 tại A sao cho AC là đường cao. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng + . AD22 AE Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6. Website:tailieumontoan.com Giải * Tìm cách giải: 11 Hệ thức + gợi ý ta nhớ đến hệ thức (4). Vì vậy ta dùng hệ thức này để giải bài AD22 AE toán. * Trình bày lời giải: Ta có AC là đường cao của tam giác ADE vuông tại A nên 111 += (hệ thức 4) AD22 AE AC 2 11 1 Tổng + có giá trị nhỏ nhất ⇔ có giá trị nhỏ AD22 AE AC 2 nhất ⇔ AC có giá trị lớn nhất. Xét ba điểm ABC,, ta có AC≤+= AB BC2 a (dấu “=” xảy ra khi B là trung điểm của AC). 11 1 1 Vậy min +==2 khi B là trung điểm AC. AD22 AE (2a) 4a2 Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD, AD= =90 °, hai đường chéo vuông góc với nhau. Cho biết AB= a, CD = b . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABCD. b) Chứng minh rằng các độ dài AC, BD và AB+ CD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Giải * Tìm cách giải: Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao AD. Có thể tính được AD nhờ phương pháp đồng dạng. * Trình bày lời giải: a) ∆ADB và ∆DCA có: AD= =90 °; ADB= DCA (cùng Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7. Website:tailieumontoan.com phụ với góc BDC). Do đó ADB DCA (g.g). AB AD Suy ra =⇒=AD2 AB.. CD = a b DA DC Do đó AD= ab . Diện tích hình thang ABCD là: ( AB++ CD) AD( a b) ab S = = 22 ab+ Vì ≥ ab (bất đẳng thức Cô-si) nên S≥= ab. ab ab 2 (dấu “=” xảy ra khi a = b hay khi ABCD là hình vuông). Vậy min S= ab khi ABCD là hình vuông. b) Xét ∆ADB vuông tại A ta có: BD2222= AB + AD =+= a ab aab( +) . Xét ∆DCA vuông tại D ta có: AC2= AD 22 + CD =+= abb 2 bab( +) . 2 22 Xét tổng ACBDbabaab22+ =( ++) ( +=+) ( ab) mà ( AB+=+ CD) ( a b) . Vậy 2 AC22+=+ BD( AB CD) . Do đó theo định lí Py-ta-go đảo thì AC, BD và AB+ CD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. C. Bài tập vận dụng Vận dụng hệ thức (1) 1.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c, AC = b . Vẽ đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính theo b và c giá trị của các tỉ số: HB BE a) ; b) . HC CF 1.2. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC= 20 cm . Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 :16 . Tính diện tích tam giác ABC. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8. Website:tailieumontoan.com 1.3. Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết OA= 23 cm , OB= 2 cm , tính độ dài AB. 1.4. Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn, trực tâm H. Biết HA= 7 cm , HB= HC =15 cm . Tính diện tích tam giác ABC. Vận dụng hệ thức (2) 1.5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2 . Tính độ dài BC. 1.6. Cho hình thang cân ABCD, AB// CD , AD⊥ AC . Biết AB=7 cm , CD = 25 cm . Tính diện tích hình thang. 1.7. Cho hình thang ABCD, AD= =90 °. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB= 5, 4 cm ; OD=15 cm . a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN. 1.8. Cho trước các đoạn thẳng a và b ( ab≥ ). Hãy dựng một đoạn thẳng thứ ba x sao cho x là trung bình nhân của hai đoạn thẳng a và b. Vận dụng hệ thức (4) 1.9. Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và c. Tia AM cắt đường 11 thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức P = + . AM22 AN 1.10. Cho hình thoi ABCD, AB= 2 cm , A =120 ° . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho 1 11 BAE =15 ° . Tia AE cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng +=. AE22 AF 3 1.11. Cho hình thang ABCD, AD= =90 °, AD= CD và hai đáy không bằng nhau. Gọi E là 1 11 giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng = + . AD2 CB 22 CE 1.12. Cho hình thoi ABCD, đường cao AH. Cho biết AC= m ; BD= n và AH= h. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9. Website:tailieumontoan.com 111 Chứng minh rằng = + . hmn2 22 1.13. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=15 cm , AC = 20 cm . Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC sao cho D thuộc cạnh AB; E thuộc cạnh AC; F và G thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của D và E để diện tích hình chữ nhật DEFG là lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. Vận dụng hệ thức (5) Định lí Py-ta-go 1.14. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. BC 2 Chứng minh rằng AB22+= AC2 AM +. 2 Áp dụng: Tam giác ABC có AB=5, AC = 7 và BC =10 . Tính độ dài đường trung tuyến AM. 1.15. Cho tam giác ABC, A =60 °. Đặt BC= a,, CA = b AB = c . Chứng minh rằng abc3<+ 33. 1.16. Cho tam giác ABC, điểm M nằm giữa B và C. Chứng minh rằng: AB22. MC+− AC . MB AM 2 . BC = MB .. MC BC 1.17. Cho tam giác ABC. Đặt BC= a,, CA = b AB = c . Chứng minh rằng: a) Nếu A <°90 thì abc2<+ 22; b) Nếu A >°90 thì abc2>+ 22; c) Nếu A =90 ° thì abc2= 22 + . 1.18. Cho tam giác ABC. Đặt BC= a,, CA = b AB = c . Chứng minh rằng: a) Nếu abc2<+ 22 thì A <°90 ; b) Nếu abc2>+ 22thì A >°90 ; c) Nếu abc2= 22 + thì A =90 ° . 1.19. Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Độ dài các đường Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10. Website:tailieumontoan.com 111 = + = = cao tương ứng là hhhabc,, . Chứng minh rằng nếu 2 22 thì hcb và hbc . hhha bc Vận dụng tổng hợp nhiều hệ thức 1.20. Cho hình thang ABCD, AD= =90 °, hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Cho biết AD=12 cm ; CD=16 cm . Tính các độ dài OA, OB, OC, OD. 1.21. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH= h, BC = a . Vẽ HD⊥ AB , HE⊥ AC . Ta đặt BD= m, CE = n . Chứng minh rằng: a) h3 = amn..; b) 33amn2= 22 + 3 1.22. Cho tam giác nhọn ABC. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Trên các đoạn thẳng HA, HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BMC = CNA = APB =90 ° . Chứng minh rằng: a) Các tam giác ANP, BMP và CMN là những tam giác cân; b) Diện tích tam giác MBC là trung bình nhân của diện tích các tam giác ABC và HBC. 1.23. Cho năm đoạn thẳng a, b, c, d, e trong đó bất cứ ba đoạn thẳng nào cũng lập thành một tam giác. Chứng minh rằng tồn tại ba đoạn thẳng lập thành một tam giác có ba góc nhọn. 1.24. Cho tứ giác ABCD, AC = 6, BD = 4. Chứng minh rằng: a) Tồn tại hai cạnh của tứ giác nhỏ hơn 5; b) Tồn tại một cạnh của tứ giác lớn hơn 3,6. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11. Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Chương I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1.1. a) Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: AB22= BC. BH ; AC= BC .C H (hệ thức 1). AB2 BC. BH BH HB c2 Do đó. = = . Vậy = AC2 BC. CH CH HC b2 b) Xét ∆ABH vuông tại H, ∆ACH vuông tại H, ta có: HB22= BA. BE ; HC= CA .CF (hệ thức 1). HB2 BA.. BE c BE Do đó = = . HC2 CACF.. b CF 2 2 BE HB c c23 b c = −= Suy ra :.23 CF HC b b c b Nhận xét: Qua kết quả của câu a) ta thấy: Tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền bằng bình phương tỉ số hai cạnh góc vuông đó. 1.2. Vẽ đường cao AH. HB9 HB HC HB+ HC 20 Ta có =⇒== = HC 16 9 16 9+ 16 25 9.20 16.20 Suy ra HB = =7,2; HC = =12,8 25 25 Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: AB2 = BC. BH = 20.7,2 =⇒= 144AB 12( cm) AC2 = BC. CH = 20.12,8 =⇒= 256AC 16( cm) 11 Vậy diện tích ∆ABC là S= AB. AC = .12.16 = 96(cm2 ) 22 Cách giải khác: Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH: AH2 = HB. HC (hệ thức 2). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12. Website:tailieumontoan.com AH 2 =7,2.12,8 = 92,16 ⇒=AH 9,6( cm) 11 Diện tích ∆ABC là S= BC. AH = .20.9,6 = 96(cm2 ) 22 1.3 Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.    Ta có DB+=°1290 ; AODB +=°90    mà BB12= nên D= AOD Do đó ∆AOD cân tại A. Suy ra AD= AO = 23( cm) Vẽ AH⊥ OD thì HO= HD Ta đặt HO= HD = x thì BD=22 x + Xét ∆ABD vuông tại A, đường cao AH, ta có AD2 = BD. HD 2 Suy ra (23) =xx( 2 + 2) . Từ đó ta được phương trình: 2xx2 + 2 − 12 =⇔ 0( x − 2)( x + 3) =⇔= 0 x 2 hoặc x = −3. Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = −3 bị loại. Do đó BD =++=2226(cm) 2 Suy ra AB =−==62 ( 2 3) 24 2 6 (cm) . 1.4. Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH⊥⊥ AC, CH AB và AH⊥ BC . Gọi D là giao điểm của AH với BC. Do ∆ABC cân nên DB = DC. Vẽ điểm K đối xứng với H qua BC, khi đó tứ giác BHCK là hình thoi. Suy ra BK⊥ AB . Xét ∆ABK vuông tại B, ta có BK2 = KA. KD (hệ thức 1). Đặt KD= x thì KH= 2 x và KA=27 x + . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13. Website:tailieumontoan.com Khi đó ta có 152 =xx( 2 + 7) ⇔2xx2 +− 7 225 =⇔− 0( x 9)( 2 x + 25) = 0 25 ⇔=x 9 (chọn) hoặc x = − (loại). 2 Vậy AD =+=7 9 16(cm) . Ta còn phải tính độ dài BC. Xét ∆HBD vuông tại D, ta có BD2= BH 22 − HD (định lí Py-ta-go). Suy ra BD2=15 22 −= 9 144 ⇒BD = 12( cm) . Do đó BC= 24 cm . 11 Diện tích ∆ABC là: S= BC. AD = .24.16 = 192(cm2 ) . 22 Khai thác bài toán: Đề bài cho góc A nhọn. Nếu góc A tù thì diện tích tam giác ABC thay đổi thế nào? Cũng chứng minh như trên ta được: BK2 = KA. KD (hệ thức 1). Đặt KD= x thì KH= 2 x và KA=27 x − . Khi đó ta có 1522=xx( 2 −⇔ 7) 2 x −− 7 x 225 = 0 ⇔( xx +9)( 2 − 25) =⇔=− 0 x 9 ⇔=−x 9 (loại) hoặc x =12,5 (chọn). Vậy AD= HD − HA =12,5 −= 7 5,5(cm) . Xét ∆HBD vuông tại D, ta có 275 5 11 BD2= BH 2 − HD 22 =−15 12,5 2 = ⇒=BD( cm) . 42 Do đó BC= 5 11( cm) . 1 1 55 11 Diện tích ∆ABC là: S= BC. AD = .5 11.5,5 = (cm2 ) . 22 4 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14. Website:tailieumontoan.com 1.5. 1 Ta có S= AH. BH = 54 ABH 2 Suy ra AH. BH = 108 (1) 1 S= AH.CH = 96 ACH 2 Suy ra AH.C H = 192 (2) Từ (1) và (2) ta được: AH2. BH . CH = 108.192 . Mặt khác AH2 = BH. CH (hệ thức 2). Suy ra AH44=⇒=12 AH 12( cm) . 2 1 1 Ta có S ABC =+=54 96 150(cm ) mà SABC = BC. AH nên BC. AH = 150 . 2 2 150.2 Suy ra BC = = 25(cm) . 12 1.6. (h.1.13) * Tìm cách giải Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao. Điều này gợi ý cho ta vẽ AH⊥ CD . Ta cần vẽ thêm BK⊥ CD nhờ đó có thể tính được độ dài DH, CK. * Trình bày lời giải Vẽ AH⊥ CD , BK⊥ CD . Tứ giác ABKH là hình chữ nhật, suy ra HK= AB = 7 cm . ∆=∆ADH BCK (cạnh huyền, góc nhọn). Suy ra DH==− CK( CD HK ) :2 =−=( 25 7) :2 9(cm) . Từ đó tính được HC= CD − DH =25 −= 9 16(cm) . Xét ∆ADC vuông tại A, đường cao AH ta có: AH2 = HD. HC (hệ thức 2). Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15. Website:tailieumontoan.com Do đó AH 2 =9.16 =⇒= 144AH 12( cm). Diện tích hình thang ABCD là: ( AB+ CD) AH (7+ 25).12 S = = =192(cm2 ) . 22 1.7. * Tìm cách giải Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC. * Trình bày lời giải a) Xét ∆ABD vuông tại A có AO⊥ BD nên OA2 = OB. OD (hệ thức 2). Do đó OA2 =5,4.15 =⇒= 81OA 9( cm) . * Xét ∆ACD vuông tại D có OD⊥ AC nên OD2 = OAOC. (hệ thức 2). OD2215 ⇒=OC ==25(cm) . OA 9 Do đó AC =25 += 9 34(cm) ; BD =5,4 += 15 20,4(cm) AC. BD 34.20,4 Diện tích hình thang ABCD là: S = = = 346,8(cm2 ) . 22 OM AO b) Xét ∆ADC có OM// CD nên = (hệ quả của định lí Ta-lét). (1) CD AC ON BN Xét ∆BCD có ON// CD nên = (hệ quả của định lí Ta-lét). (2) CD BC AO BN Xét ∆ABC có ON / / AB nên = (định lí Ta-lét). (3) AC BC OM ON Từ (1),(2),(3) suy ra = CD CD Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16. Website:tailieumontoan.com Do đó OM = ON. 1 11 Xét ∆AOD vuông tại O, OM⊥ AD nên = + (hệ thức 4). OM222 OA OD 1 11 Do đó =+⇒≈OM7,7( cm) OM 229 15 2 Suy ra MN ≈=7,7.2 15,4(cm) . 1.8. * Tìm cách giải Ta phải dựng đoạn thẳng x sao cho x= ab hay x2 = ab . Hệ thức này có dạng của hệ thức (2): h2 = bc′′ nên ta vận dụng hệ thức (2) để dựng đoạn thẳng x . * Trình bày lời giải Cách dựng - Trên tia By ta đặt liên tiếp các đoạn thẳng BH= a , HC= b . - Dựng nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. - Từ H dựng một đường thẳng vuông góc với BC, cắt nửa đường tròn (O) tại A. Khi đó AH là đoạn thẳng x cần dựng. Chứng minh 1 ∆ABC có OA= OB = OC = BC nên ∆ABC vuông tại A. 2 Ta có AH2 = HB. HC (hệ thức 2). Do đó x2 = ab . Cách giải khác - Trên tia By ta đặt BC= a và BH= b . - Dựng nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. - Từ H dựng một đường thẳng vuông góc với BC, cắt nửa đường tròn (O) tại A. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17. Website:tailieumontoan.com Khi đó AB là đoạn thẳng x cần dựng. 1 Thực vậy, ∆ABC có OA= OB = OC = BC nên ∆ABC vuông tại A. 2 Ta có AB2 = BC. BH (hệ thức 1). Do đó x2 = ab . Nhận xét: Trong cách giải thứ nhất ta không cần điều kiện ab≥ . Điều kiện này chỉ dùng trong cách giải thứ hai. Nếu ab= thì ta có ngay xab= = . Hình vẽ trong cách giải thứ hai trông "gọn" hơn. 1.9. * Tìm cách giải 11 Biểu thức + gợi ý cho ta vận dụng hệ thức AM22 AN 1 11 (4) = + để giải. hbc2 22 Muốn vậy phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN. * Trình bày lời giải Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.     ∆ADE và ∆ABM có D==°= B90 ; AD AB ; A12 = A (cùng phụ với góc DAM). Do đó ∆=∆ADE ABM( g.c.g) . Suy ra AE= AM . 11 1 Xét ∆AEN vuông tại A có AD⊥ EN nên += AE22 AN AD 2 11 Mặt khác AE= AM,1 AD = nên +=1. AM22 AN 1.10. * Tìm cách giải Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18. Website:tailieumontoan.com 1 11 Điều phải chứng minh += gợi ý cho ta cần vận dụng hệ thức (4) để giải. Do đó AE22 AF 3 ta cần vẽ hình phụ tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AE, AF. * Trình bày lời giải Trên cạnh CD lấy điểm G sao cho DAG = BAE =15 ° . Khi đó GAF =90 °. ∆ADG =∆ ABE( g.. c g) ⇒= AG AE . Hình thoi ABCD có A =120 ° nên D =60 ° . Do đó ∆ADC là tam giác đểu. AD 3 23 Vẽ AH⊥ DC thì AH = = = 3 (cm) 22 11 1 Xét ∆AGF vuông tại A, AH⊥ GF ta có: += (hệ thức 4). AG22 AF AH 2 1 1 11 += = Suy ra 22 3 AE AF ( 3) 3 1.11. * Tìm cách giải Nhìn vào kết luận của bài toán ta thấy phải dùng hệ thức (4) để giải. Muốn vậy, phải vẽ hình phụ tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông lần lượt bằng CB và CE. * Trình bày lời giải Qua C vẽ một đường thẳng vuông góc với CB cắt đường thẳng AD tại F. Vẽ BH⊥ CD . ∆CDF và ∆BHC có: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19. Website:tailieumontoan.com CD= BH (cùng bằng AD); D ==°= H 90 ; DCF HBC (cùng phụ với góc BCH). Do đó ∆=∆CDF BHC( g.. c g ) . Suy ra CF= BC . 1 11 Xét ∆CEF vuông tại C có CD là đường cao nên = + (hệ thức 4). CD2 CF 22 CE 1 11 Do đó = + (vì CD= AD , CF= CB ). AD2 CB 22 CE 1.12. (h.1.20) * Tìm cách giải Do tính chất hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau nên trong hình đã có bốn tam giác vuông đỉnh O, các cạnh góc vuông đều đã biết nhưng chưa có đường cao ứng với cạnh huyền. Vì vậy qua O cần vẽ đường cao ứng với cạnh huyền. * Trình bày lời giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. mn Ta có AC⊥ BD và OA= OC =; OB = OD = 22 Qua O vẽ OE⊥ AB , đường thẳng OE cắt CD tại F. Dễ thấy EF= AH = h . 111 Xét ∆AOB vuông tại O, OE⊥ AB , ta có = + (hệ thức 4). OE222 OA OB 111 111 Suy ra 2= 22 + . Do đó = + . hmn    hmn2 22     222    1.13. 1 11 Vẽ đường cao AH. Vì ∆ABC vuông tại A nên = + (hệ thức 4). AH222 AB AC 1 11 1 Do đó =+=. Suy ra AH =144 = 12(cm) AH 22215 20 144 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20. Website:tailieumontoan.com Ta có BC =1522 += 20 25(cm) . Gọi K là giao điểm của AH với DE. Ta đặt DG= x; DE = y . Khi đó AK=12 − x . Vì DE //BC nên ADE ABC . Suy ra DE AK = BC AH yx12 − 25( 12 − x) Do đó = ⇒=y . 25 12 12 Diện tích hình chữ nhật DEFG là: xx.25( 12 − ) 25 S== xy =−−( x2 12 x) 12 12 25 25 2 =−( xx2 −12 +− 36 36) =−( x −6) + 75 12 12 25 2 Vì −( x −≤60) nên S ≤ 75 (dấu "=" xảy ra khi x = 6 ). 12 Vậy maxS= 75 cm2 khi x = 6 . Ta có KH= DG = 6 cm , mà AH=12 cm nên K là trung điểm của AH. DE đi qua K và DE //BC nên D là trung điểm cùa AB, E là trung điểm của AC. 1.14. • Trường hợp CB ≤<° 90 (nếu BC ≤<° 90 thì cũng chứng minh tương tự). Vẽ đường cao AH thì điểm H thuộc đoạn BM. Theo định lí Py-ta-go ta có: AB222222=+=+ AH HB; AC AH HC . Do đó AB22+= AC2 AH 22 ++ HB HC 2 22 =2( AM22 − HM) +−( BM HM) ++( HM MC) Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC